\input{../preambules/preCorrection.tex}

\begin{document}

\chead{Correction Feuille Exercice 3}
\lfoot{}
\cfoot{Généralités sur les suites.}

\begin{center}
\fbox{ \Large Correction Feuille Exercice 3}
\end{center}
\vspace{30pt}

\setcounter{theorem}{9}

\label{Démontrer par récurrence}
\savoir{Démontrer par récurrence}

\begin{exo}
Soit $(u_n)_{n \in \N^*}$ la suite définie par $u_0 = 0$ et $\forall n \in \N, \; u_{n+1} = 3 u_n + 2$. On va montrer par récurrence les propositions $\P_n : \{u_n = 3^n - 1 \}$. 

\renewcommand\labelitemi{\textbullet}
\begin{itemize}
\item {\bf Initialisation :} On a bien $3^0 - 1 = 1 - 1 = 0 = u_0$ donc l'initialisation est vérifié.
\item {\bf Hérédité :} On suppose que la proposition $\P_n$ est vraie pour un certain rang $n \geq 0$. On a alors
\begin{align*}
u_{n+1} & = 3u_n + 2 \\
& = 3(3^n - 1) + 2 \\
& = 3^{n+1} - 3 + 2 \\
& = 3^{n+1} - 1
\end{align*}
Donc la proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.
\item {\bf Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $u_n = 3^n - 1$}.
\end{itemize}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
La suite $v$ définie par $v_0 = 0$ et $v_{n+1} = 4 v_n +1$.
On va montrer par récurrence les propositions 
$$\P_n : \left\{ v_n = \dfrac{1}{3}(4^n-1) \right\}.$$ 

\renewcommand\labelitemi{\textbullet}
\begin{itemize}
\item {\bf Initialisation :} On a bien $\dfrac{1}{3}(4^0-1 \dfrac{1}{3}(1 - 1) = 0 = v_0$ donc l'initialisation est vérifié.
\item {\bf Hérédité :} On suppose que la proposition $\P_n$ est vraie pour un certain rang $n \geq 0$. On a alors
\begin{align*}
v_{n+1} & = 4v_n + 1 \\
& = \dfrac{4}{3}(4^n - 1) + 1 \\
& = \dfrac{4^{n+1}}{3} - \dfrac{4}{3} + 1 \\
& = \dfrac{4^{n+1}}{3} - \dfrac{1}{3} \\
& = \dfrac{1}{3}(4^{n+1} - 1)
\end{align*}
Donc la proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.
\item {\bf Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $v_n = \dfrac{1}{3}(4^n-1) $}.
\end{itemize}
\end{exo}

\begin{exo}[**]
Calculer les premiers termes de la suite $(u_n)_{n \in \N}$ définie par  
$$
\left\lbrace \begin{array}{ccc}
u_0 &=& 3 \\
u_{n+1} & = & \sqrt{1 + u_n^2}
\end{array}
\right. $$
puis conjecturer une formule explicite et la démontrer par récurrence. 
On a les calculs suivantes
\begin{align*}
u_1 & = \sqrt{1 + 3^2} = \sqrt{10} \\
u_2 & = \sqrt{1 + (\sqrt{10})^2} = \sqrt{11} \\
u_3 & = \sqrt{12} \ldots
\end{align*}
On conjecture que les propositions $\P_n : \{ u_n = \sqrt{ 9 + n} \}$ sont vraies. On va les montrer par récurrence.

\renewcommand\labelitemi{\textbullet}
\begin{itemize}
\item {\bf Initialisation :} On a bien $\sqrt{9 + 0} = 3 = u_0$ donc l'initialisation est vérifié.
\item {\bf Hérédité :} On suppose que la proposition $\P_n$ est vraie pour un certain rang $n \geq 0$. On a alors
\begin{align*}
u_{n+1} & = \sqrt{1 + u_n^2} \\
& = \sqrt{1 + (\sqrt{9+n})^2} \\
& = \sqrt{9 + (n+1)}
\end{align*}
Donc la proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.
\item {\bf Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $u_n = \sqrt{ 9 + n} $}.
\end{itemize}
\end{exo}

\begin{exo}[**]
Montrer par récurrence la propriété suivante : \\
{\it 
Soit $u$ une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$, alors $\forall n \in \N$,
$$\: u_{0}+u_{1}+...+u_{n}=\dfrac{(n+1)(u_{0}+u_{n})}{2}$$
}
On note les propositions 
$$
\P_n : \left\{ u_{0}+u_{1}+...+u_{n}=\dfrac{(n+1)(u_{0}+u_{n})}{2}
\right\}$$

\renewcommand\labelitemi{\textbullet}
\begin{itemize}
\item {\bf Initialisation :} On a bien $\dfrac{(0+1)(u_0 + u_0)}{2} = u_0$ donc l'initialisation est vérifié.
\item {\bf Hérédité :} On suppose que la proposition $\P_n$ est vraie pour un certain rang $n \geq 0$. On a alors
\begin{align*}
u_{0} + u_1 + \ldots + u_n + u_{n+1} & = \dfrac{(n+1)(u_{0}+u_{n})}{2} + u_{n+1} \\
& = \dfrac{(n+1)(u_{0}+u_{0} + nr)}{2} + u_{0} + (n+1)r \\
& = (n+1)u_0 + \dfrac{n(n+1)r}{2} + u_{0} + (n+1)r \\
& = (n+2)u_0 + \dfrac{(n+2)(n+1)r}{2} 
\end{align*}
Or 
\begin{align*}
\dfrac{(n+2)(u_0 + u_{n+1})}{2} & = \dfrac{(n+2) (u_0 + u_0 + (n+1)r}{2} \\
& = (n+2)u_0 + \dfrac{(n+2)(n+1)r}{2}
\end{align*}
Donc, 
$$
u_{0} + u_1 + \ldots + u_n + u_{n+1}  = \dfrac{(n+2)(u_0 + u_{n+1})}{2}
$$
Donc la proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.
\item {\bf Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $u_{0}+u_{1}+...+u_{n}=\dfrac{(n+1)(u_{0}+u_{n})}{2} $}.
\end{itemize}
\end{exo}

\begin{exo}[***]
Pour cet exercice, on rappelle qu'un nombre est un multiple de 11 s'il peut s'écrire sous la forme $11k$ avec $k \in \N$.On va montrer par récurrence les propositions 
$$\P_n : \left\{10^n - (-1)^n \; \text{est un multiple de 11} \right\}.$$ 

\renewcommand\labelitemi{\textbullet}
\begin{itemize}
\item {\bf Initialisation :} On a bien que $10^0 -(-1)^0 = 1 - 1 = 0$ est un multiple de 11 donc l'initialisation est vérifié.
\item {\bf Hérédité :} On suppose que la proposition $\P_n$ est vraie pour un certain rang $n \geq 0$. On a alors $10^n - (-1)^n = 11 k$ avec $k \in \N$ et  
\begin{align*}
10^{n+1} - (-1)^{n+1} & = 10\times 10^n + (-1)^n \\
& = 10 \times (10^n - (-1)^n + (-1)^n) + (-1)^n  \\
& = 10 \times (10^n - (-1)^n) + 10 \times (-1)^n + (-1)^n  \\
& = 10 \times 11 k + 11 \times (-1)^n \\
& = 11 \times (10 k + (-1)^n)
\end{align*}
Or $10k + (-1)^n$ est un entier naturel. Donc la proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.
\item {\bf Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $10^n - (-1)^n$ est un multiple de 11}.
\end{itemize} 
\end{exo}

\label{Déterminer la monotonie}
\savoir{Déterminer la monotonie}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item En posant la fonction $f(x) = \dfrac{1}{x}$, on remarque que $u_n = f(n)$. La fonction $f$ étant décroissante, \begin{center}
\fbox{la suite $(u_n)_{n \in \N}$ est également décroissante.}
\end{center} 

\item En posant la fonction $f(x) = \ln(x)$, on remarque que $u_n = f(n)$. La fonction $f$ étant croissante, 
\begin{center}
\fbox{la suite $(u_n)_{n \in \N}$ est également croissante.}
\end{center}
 
 \item On a bien $\forall n \in \N^*, u_n > 0$, on regarde alors
 \begin{align*}
 \dfrac{u_{n+1}}{u_n} & = \dfrac{\dfrac{3^{n+1}}{4^n}}{\dfrac{3^n}{4^{n-1}}} \\ 
 & = \dfrac{3^{n+1}}{3^n} \times \dfrac{4^{n-1}}{4^n} \\
 & = \dfrac{3}{4} < 1
 \end{align*}
 Donc \begin{center}
 \fbox{la suite $(u_n)_{n \in \N^*}$ est décroissante.}
 \end{center} 
 
 \item On a pour tout $n \in \N$,
 $$ u_{n+1} - u_n = -u_n^2 \leq 0 .$$
 Donc \begin{center}
 \fbox{la suite $(u_n)_{n \in \N}$ est décroissante.}
 \end{center} 
 
  \item On a pour tout $n \in \N$,
 $$ u_{n+1} - u_n = e^{u_n} \geq 0 .$$
 Donc \begin{center}
 \fbox{la suite $(u_n)_{n \in \N}$ est croissante.}
 \end{center} 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
On considère la suite définie par $u_{0}>0$ et $u_{n+1}=u_{n}+\dfrac{1}{u_{n}}.$
\begin{enumerate}
\item On va montrer par récurrence les propositions $\P_n : \{u_n$ existe et $u_n > 0 \}$. 

\renewcommand\labelitemi{\textbullet}
\begin{itemize}
\item {\bf Initialisation :} On a bien $u_0 >0$ qui est bien définie donc l'initialisation est vérifié.
\item {\bf Hérédité :} On suppose que la proposition $\P_n$ est vraie pour un certain rang $n \geq 0$. On a alors $u_n$ bien définie et strictement supérieur à $0$. Donc comme $u_n \neq 0$, $u_{n+1} = u_n + \dfrac{1}{u_n}$ est bien défini et 
$$
u_n > 0, \quad \dfrac{1}{u_n} > 0 
$$
Or la somme de deux nombres strictement positifs est positif donc 
$u_{n+1} > 0$.
\item {\bf Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $u_n$ existe et $u_n > 0$}.
\end{itemize}
\item On a pour tout $n \in \N$,
$$
u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{u_n}  >0
$$
d'après la question précédente. Donc, 
\begin{center}
\fbox{la suite $(u_n)_{n \in \N}$ est croissante.}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[**]
On considère la suite $u$ définie par $u_0 \in \R$ et pour tout entier $n$, $u_{n+1} =\exp(u_n) -1$ et la fonction $f$ définie par $\forall x \in \R, f(x) = e^x - 1$. 
\begin{enumerate}
\item Pour étudier l'équation $f(x) = x$, on pose la fonction $g : x \to f(x) - x = e^x - 1 - x$. Cette fonction est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$ et 
$$
f'(x) = e^x - 1
$$
On dresse le tableau de variation de la fonction $g$ en étudiant l'inéquation $e^x - 1 \geq 0 \Longleftrightarrow x \geq 0$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=4,espcl=2]{$x$/1,Signe de $g'(x)$/1.5,Variations de $g$/2}{$-\infty$,$0$,$+ \infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,} 
\tkzTabVar{+/,-/$0$,+/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
D'après le tableau de variation, la fonction $g$ est positive sur $\R$ et $g(x) = 0$ si et seulement si $x = 0$. \\
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction dérivable sur $\R$. On a donc 
$$
f'(x) = e^x > 0
$$
\begin{center}
 \fbox{La fonction $f$ est donc strictement croissante.}
 \end{center} 
{\bf On suppose ici que $u_0 = 1$. }
\item On montre tout d'abord que $u_n \leq u_{n+1}$. On a vu précédemment que $f(x) \geq x$ pour tout $x \in \R$. En prenant $x = u_n$, on a 
\begin{center}
\fbox{$u_{n+1} = f(u_n) \geq u_n$.}
\end{center}
On va montrer désormais par récurrence que $1 \leq u_n$. On note les propositions $\P_n : \{ 1 \leq u_n \}$. 
\renewcommand\labelitemi{\textbullet}
\begin{itemize}
\item {\bf Initialisation :} On a bien $u_0 \geq 1$ qui est bien définie donc l'initialisation est vérifié.
\item {\bf Hérédité :} On suppose que la proposition $\P_n$ est vraie pour un certain rang $n \geq 0$. On a alors 
\begin{align*}
1 \leq u_n & \Longrightarrow f(1) \leq f(u_n) \quad \text{$f$ est croissante} \\
& \Longrightarrow 1 \leq e-1 \leq u_{n+1} 
\end{align*}
Donc la proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.
\item {\bf Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $1 \leq u_n \leq u_{n+1}$}.
\end{itemize}
\item On pose la fonction $h(x) = f(x) -(e-1)x = e^x - 1 - (e-1)x$. Cette fonction est dérivable sur $[1, + \infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle et 
$$
h'(x) = e^x - (e-1) = e^x - e + 1
$$
Or si $x \geq 1$, on a $e^x \geq e$ et donc la fonction $h'(x)$ est positive et donc la fonction $h$ est strictement croissante. Comme $h(1) = e-1 - (e-1) = 0$, on en déduit que la fonction $h$ est positive ou nulle. Donc
\begin{center}
\fbox{$ \forall x  \geq 1, \quad f(x) \geq (e-1)x$.}
\end{center}
\item On va montrer par récurrence les propositions $\P_n : \{ u_n \geq (e-1)^n \}$. 
\renewcommand\labelitemi{\textbullet}
\begin{itemize}
\item {\bf Initialisation :} On a bien $u_0 = 1 =(e-1)^0$ donc $\P_0$ est vraie. 
\item {\bf Hérédité :} On suppose que la proposition $\P_n$ est vraie pour un certain rang $n \geq 0$. On a donc $u_n = (e-1)^n$. Comme $u_n \geq 1$, on a alors
\begin{align*}
f(u_n) \geq (e-1)u_n & \Longrightarrow u_{n+1} \geq (e-1) \times (e-1)^n \\
& \Longrightarrow  u_{n+1} \geq (e-1)^{n+1}
\end{align*}
Donc la proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.
\item {\bf Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $1 \leq u_n \leq u_{n+1}$}.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{exo}

\label{Déterminer si la suite est majorée ou minorée}
\savoir{Déterminer si la suite est majorée ou minorée}

\begin{exo}
Soit $u$ la suite telle que $u_0 = 3$ et : $\forall n \in \N, u_{n+1} \geq 2u_n$. On va montrer par récurrence les propositions $\P_n : \{ u_n \geq 3 \times 2^n \}$. 
\renewcommand\labelitemi{\textbullet}
\begin{itemize}
\item {\bf Initialisation :} On a bien $u_0 = 3 \times 2^0 = 3$ donc $\P_0$ est vraie. 
\item {\bf Hérédité :} On suppose que la proposition $\P_n$ est vraie pour un certain rang $n \geq 0$. On a donc $u_n \geq 3 \times 2^n$. Comme $u_{n+1} \geq 2 u_n$, on a alors
\begin{align*}
u_{n+1} \geq 2 u_n & \Longrightarrow u_{n+1} \geq 2 \times 3 \times 2^n \\
& \Longrightarrow  u_{n+1} \geq 3 \times 2^{n+1}
\end{align*}
Donc la proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.
\item {\bf Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $u_n \geq 3 \times 2^n$}.
\end{itemize}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Soit $(u_n)_{n \in \N}$ la suite réelle telle que $u_0 = 1$ et : $\forall n \in \N, u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1 + u_n}$.
\begin{enumerate}
\item On va montrer par récurrence les propositions $\P_n : \{ u_n > 0 \}$. 
\renewcommand\labelitemi{\textbullet}
\begin{itemize}
\item {\bf Initialisation :} On a bien $u_0 = 1 > 0$ donc $\P_0$ est vraie. 
\item {\bf Hérédité :} On suppose que la proposition $\P_n$ est vraie pour un certain rang $n > 0$. On a donc $u_n \geq 0$. Donc on a également $1 + u_n > 0$ et 
\begin{align*}
u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1 + u_n} > 0 
\end{align*}
Donc la proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.
\item {\bf Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $u_n > 0$}.
\end{itemize}
\item On calcule 
\begin{center}
\fbox{$u_1 = \dfrac{1}{2}$, \; $u_2 = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{1 + \dfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{3}$, \; $u_3 = \dfrac{\dfrac{1}{3}}{1 +\dfrac{1}{3}} = \dfrac{1}{4}$ et $u_4 = \dfrac{\dfrac{1}{4}}{1 + \dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{5}$}
\end{center}
On conjecture alors la formule
\begin{center}
\fbox{$ u_n = \dfrac{1}{n+1}$. }
\end{center}
\item On va montrer par récurrence les propositions $\P_n : \left\{ u_n = \dfrac{1}{n+1} \right\}$. 
\renewcommand\labelitemi{\textbullet}
\begin{itemize}
\item {\bf Initialisation :} On a bien $u_0 = 1 = \dfrac{1}{1+0}$ donc $\P_0$ est vraie. 
\item {\bf Hérédité :} On suppose que la proposition $\P_n$ est vraie pour un certain rang $n > 0$. On a donc $u_n = \dfrac{1}{n+1}$. Donc on a
\begin{align*}
u_{n+1} & = \dfrac{u_n}{1 + u_n} \\
& = \dfrac{\dfrac{1}{n+1}}{1 + \dfrac{1}{n+1}} \\
& = \dfrac{1}{n+1} \times \dfrac{n+1}{n+1+1} \\
& = \dfrac{1}{n+2}
\end{align*}
Donc la proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.
\item {\bf Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $u_n = \dfrac{1}{n+1}$}.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[**]
Dans cet exercice on considère des suites monotones $(u_n)_{n \in \N}$ de premier terme $u_0$.
\begin{enumerate}
\item On va montrer par récurrence les propositions $\P_n : \left\{ u_n \geq u_0 \right\}$. 
\renewcommand\labelitemi{\textbullet}
\begin{itemize}
\item {\bf Initialisation :} On a bien $u_0 \geq u_0$ donc $\P_0$ est vraie. 
\item {\bf Hérédité :} On suppose que la proposition $\P_n$ est vraie pour un certain rang $n > 0$. On a donc $u_n \geq u_0$. La suite étant croissante on a
\begin{align*}
u_{n+1} \geq u_n \geq u_0 
\end{align*}
Donc la proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.
\item {\bf Conclusion :} \fbox{La suite $(u_n)$ est minorée par $u_0$.}.
\end{itemize} 
\item On va montrer par récurrence les propositions $\P_n : \left\{ u_n \leq u_0 \right\}$. 
\renewcommand\labelitemi{\textbullet}
\begin{itemize}
\item {\bf Initialisation :} On a bien $u_0 \leq u_0$ donc $\P_0$ est vraie. 
\item {\bf Hérédité :} On suppose que la proposition $\P_n$ est vraie pour un certain rang $n > 0$. On a donc $u_n \leq u_0$. La suite étant croissante on a
\begin{align*}
u_{n+1} \leq u_n \leq u_0 
\end{align*}
Donc la proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.
\item {\bf Conclusion :} \fbox{La suite $(u_n)$ est majorée par $u_0$.}.
\end{itemize} 
\end{enumerate}
\end{exo}

\label{Déterminer la formulation explicite des suites classiques.}
\savoir{Déterminer la formulation explicite des suites classiques.}

\begin{exo}
Déterminer les formules explicites des suites suivantes :
\begin{enumerate}
\item Soit $(u_n)_{n \in \N}$ la suite définie par $u_0 = 2$ et $\forall n \in \N, \; u_{n+1} = 5 u_n + 4$. On reconnait une suite arithmético-géométrique. On résout l'équation $x = 5x + 4$
$$
x = 5x + 4 \Longleftrightarrow -4x = 4 \Longleftrightarrow x = -1
$$
On pose alors la suite $(v_n)$ définie par $v_n = u_n +1$. On vérifie que la suite $(v_n)$ est géométrique. En effet
\begin{align*}
v_{n+1} & = u_{n+1} + 1 \\
& = 5u_{n} + 4 + 1 \\
& = 5(u_n +1 ) \\
& = 5 v_n
\end{align*}
La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison 5. De plus $v_0 = u_0 + 1 = 3$. Nous avons donc pour tout $n \in \N$, $v_n = 3 \times 5^n$. On en déduit donc que
\begin{center}
\fbox{$\forall n \in \N, \quad u_n = 3 \times 5^n -1$.}
\end{center}

\item $(v_n)_{n \in \N}$ la suite définie par $v_0 = 1$, $v_1 = 2$ et $\forall n \in \N, \; v_{n+2} = 2 v_{n+1} - v_n$. On reconnait une suite récurrente linéaire d'ordre 2. On résout l'équation $x^2 = 2x -1$
$$
x^2 - 2x + 1 = 0 \Longleftrightarrow (x-1)^2 = 0 .
$$
Cette équation n'ayant qu'une solution, la suite s'écrit explicitement
$$
v_n = (\alpha + \beta n) 1^n = \alpha + \beta n
$$
On a alors $v_0 = \alpha$ et $v_0 = 1$ donc $\alpha = 1$. De même $v_1 = \alpha + \beta$ et $v_1 = 2$ donc $\beta + 1 = 2 \Longleftrightarrow \beta = 1$. On conclut que 
\begin{center}
 \fbox{$ \forall n \in \N, \quad v_n = 1 + n$.}
 \end{center} 
 
\item $(w_n)_{n \in \N}$ la suite définie par $w_0 = 1$, $w_1 = 0$ et $\forall n \in \N, \; w_{n+2} + 5 w_{n+1} + 4w_n = 0$. On reconnait une suite récurrente linéaire d'ordre 2. On résout l'équation $x^2 + 5x + 4 = 0$. Le discriminant de cette équation est $\Delta = 25 - 16 = 9$. Cette équation a donc 2 solutions
$$
x_1 = \dfrac{-5 - 3}{2} = - 4 \quad \text{et} \quad x_2 = \dfrac{-5+3}{2} = -1
$$
Cette équation ayant deux solutions, la suite s'écrit explicitement
$$
w_n = \alpha (-4)^n + \beta (-1)^n
$$
On utilise les conditions $w_0 = 1$ et $w_1 = 0$ pour poser le système
\begin{align*}
\begin{cases}
\alpha + \beta & = 1 \\
-4\alpha - \beta & = 0 
\end{cases} & \Longleftrightarrow 
\begin{cases}
\alpha + \beta & = 1 \\
-3\alpha & = 1 \quad L_2 + L_1 \rightarrow L_2
\end{cases} \\
& \Longleftrightarrow 
\begin{cases}
\beta & = 1 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{3} \\
\alpha & = -\dfrac{1}{3} 
\end{cases} 
\end{align*}
La suite s'exprime donc ainsi
\begin{center}
 \fbox{$ \forall n \in \N, \quad w_n = -\dfrac{1}{3} \times (-4)^n + \dfrac{4}{3} \times (-1)^n$.}
 \end{center} 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[*]
La suite $(u_n)$ est définie par 
$$
\left\lbrace \begin{array}{ccl}
u_0 &=& \dfrac{1}{4} \\
u_{n+1} & = & \dfrac{3u_n}{2u_n - 1}, \quad \forall n \in \N
\end{array}
\right. $$
Pour tout $n \in \N$, on pose $v_n = \dfrac{1}{u_n} - \dfrac{1}{2}$. On admet que les termes $u_n$ et $v_n$ sont définis pour tout $n \in \N$. 
\begin{enumerate}
\item On a pour tout $n \in \N$, 
\begin{align*}
v_{n+1} & = \dfrac{1}{u_{n+1}} - \dfrac{1}{2} \\
& = \dfrac{2 u_n - 1}{3u_n} - \dfrac{1}{2} \\
& = \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{3u_n} - \dfrac{1}{2} \\
& = - \dfrac{1}{3 u_n} + \dfrac{1}{6} \\
& = - \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{1}{u_n} - \dfrac{1}{2} \right) \\
& = - \dfrac{1}{3} v_n
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $(-1/3)$. }
\end{center}
\item Le premier terme de la suite $(v_n)$ est $v_0 = 4 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2}$. Donc
$$
\forall n \in \N, \quad v_n  = 	\dfrac{7}{2} \times \left(- \dfrac{1}{3} \right)^n
$$
Or comme $v_n = \dfrac{1}{u_n} - \dfrac{1}{2} \Longleftrightarrow v_n + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{u_n} \Longleftrightarrow u_n = \dfrac{1}{v_n + \dfrac{1}{2}}$, On en déduit 
\begin{center}
\fbox{$u_n  = \dfrac{1}{\dfrac{7}{2} \times \left(- \dfrac{1}{3} \right)^n + \dfrac{1}{2}} $.}
\end{center}
\end{enumerate} 
\end{exo}

\begin{exo}[*]
Soit $(u_n)_{n \in \N}$ la suite définie par 
$$
\left\lbrace \begin{array}{ccl}
u_0 &=& 0 \\
u_{n+1} & = & 2u_n + 3^n, \quad \forall n \in \N
\end{array}
\right. $$ 
 Pour étudier cette suite, on introduit la suite auxiliaire $v_n = \dfrac{u_n}{3^n}$ pour tout $n \geq 0$. \\
 
 On considère pour $n \in \N$, 
 \begin{align*}
 v_{n+1} & = \dfrac{u_{n+1}}{3^{n+1}} \\
 & = \dfrac{2u_n + 3^n}{3^{n+1}} \\
 & = \dfrac{2}{3^{n+1}} u_n + \dfrac{3^n}{3^{n+1}} \\
 & = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{u_n}{3^n} + \dfrac{1}{3} \\
 & = \dfrac{2}{3} v_n + \dfrac{1}{3}
 \end{align*}
 La suite $(v_n)_{n \in \N}$ est donc arithmético-géométrique. On note que $v_0 = 0$ On résout alors l'équation 
 \begin{align*}
 x= \frac{2}{3}x + \frac{1}{3} & \Longleftrightarrow \frac{1}{3} x = \frac{1}{3} \\
 & \Longleftrightarrow x = 1
 \end{align*}
On pose alors pour tout $n \in \N$, la suite $w_n = v_n - 1$. Ainsi pour tout $n \in \N$,
\begin{align*}
w_{n+1} & = v_{n+1} - 1 \\
& = \frac{2}{3} v_n + \frac{1}{3} - 1 \\
& = \frac{2}{3} v_n - \dfrac{2}{3} \\
& = \frac{2}{3}(v_n - 1) \\
& = \frac{2}{3} w_n
\end{align*}
La suite $(w_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{3}$ et de premier terme $w_0 = -1$. On a alors 
$$
w_n = - \left( \dfrac{2}{3} \right)^n 
$$
On a alors pour tout $n \in \N$,
$$
v_n = w_n + 1 = 1 - \left( \dfrac{2}{3} \right)^n 
$$
et finalement pour tout $n \in \N$,
\begin{center}
\fbox{$ u_n = 3^n v_n = 3^n \left(1 - \left( \dfrac{2}{3} \right)^n \right) = 3^n - 2^n $}
\end{center}
\end{exo}

\begin{exo}[**]
%Déterminer le terme général des suites suivantes en fonction de $n$ :
%\item $u_0 = 1$, $u_1 = -2$, $\quad \forall n \in \N,  
%\dfrac{1}{2} u_{n+2} - 4 u_{n+1} - 4 u_n = 0$. 
On considère les deux suites $(x_n)$ et $(y_n)$ définies par : $x_0 = 2$; $y_0 = -1$ et les relations suivantes :
$$
\left\lbrace \begin{array}{ccl}
\forall n \in \N, x_{n+1} &=& -2x_n + y_n  \\
\forall n \in \N, y_{n+1} &=& 2x_n - 3y_n  \\
\end{array}
\right. $$ 
\begin{enumerate}
\item On a pour tout $n \in \N$, en utilisant la première équation 
$$
x_{n+2} = - 2x_{n+1} + y_{n+1} .
$$
En utilisant la seconde équation, on a alors
$$
x_{n+2} = - 2x_{n+1} + 2x_n - 3 y_n
$$
En utilisant encore la première équation, on utilise $y_n = x_{n+1} + 2 x_n$ et donc 
\begin{align*}
& x_{n+2}  = -2x_{n+1} + 2x_n - 3x_{n+1} - 6 x_n \\
\Longleftrightarrow & \boxed{x_{n+2}  = -5x_{n+1} - 4x_n }
\end{align*}

\item  La suite $(x_n)_{n \in \N}$ est une suite récurrente linéaire d'ordre 2. On résout alors l'équation $x^2 + 5 x + 4 = 0$. Le discriminant de cette équation est $\Delta = 25 - 16 = 9$. Elle possède donc deux solutions 
$$
x_1 = \dfrac{-5 + 3}{2} = - 1, \qquad x_2 = \dfrac{-5-3}{2} = - 4
$$
La suite $(x_n)_{n \in \N}$ a donc pour formule explicite 
$$
x_n = \alpha (-1)^n + \beta (-4)^n
$$
Nous avons de plus $x_0 = 2$ et $x_1 =  - 2x_0 + y_0 = -4 - 1 = -5$. On a alors le système 
\begin{align*}
\begin{cases}
\alpha + \beta & = 2 \\
- \alpha - 4 \beta & = - 5
\end{cases} & \Longleftrightarrow 
\begin{cases}
\alpha + \beta &  = 2 \\
 - 3 \beta & = - 3 \quad L_2 + L_1 \rightarrow L_2
\end{cases}  \\
& \Longleftrightarrow 
\begin{cases}
\alpha &  = 1 \\
 \beta &= 1 
\end{cases}
\end{align*}
Ainsi on a 
$x_n = (-1)^n + (-4)^n$. 
On en déduit en utilisant encore la formule $y_n = x_{n+1} + 2 x_n$ que 
\begin{align*}
&y_n = (-1)^{n+1} + (-4)^{n+1} + 2 ((-1)^n + (-4)^n) \\
\Longleftrightarrow & y_n = (-1)^n (-1 +2) + (-4)^n (-4 + 2) \\
 \Longleftrightarrow & \boxed{y_n = (-1)^n  - 2 \times (-4)^n }
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}[**]
On définit $(a_n)_{n \in \N}$ et $(b_n)_{n \in \N}$ par $a_0=0$ et $b_0 = 12$, puis pour $n \in \N$: 
$$
a_{n+1} = \dfrac{2a_n + b_n}{3} \quad \text{et} \quad b_{n+1} = \dfrac{a_n + 3b_n}{4}.
$$
\begin{enumerate}
\item On considère la suite $(u_n)$ définie pour $n \in \N$, par $u_n = b_n - a_n$. 
\begin{enumerate}
\item On a pour tout $n \in \N$, 
\begin{align*}
u_{n+1} & = b_{n+1} - a_{n+1} \\
        & = \dfrac{a_n + 3b_n}{4} - \dfrac{2a_n + b_n}{3} \\
        & = \dfrac{3b_n}{4} - \dfrac{b_n}{3} + \dfrac{a_n}{4} - \dfrac{2a_n}{3}  \\
        & = \dfrac{9b_n}{12} - \dfrac{4b_n}{12} + \dfrac{3a_n}{12} - \dfrac{8a_n}{12} \\
        & = \dfrac{5}{12}b_n - \dfrac{5}{12}a_n \\
        & = \dfrac{5}{12}(b_n - a_n) = \dfrac{5}{12} u_n
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{5}{12}$ et de premier terme $u_0 = 12$. }
\end{center}
\item On en déduit que pour tout $n \in \N$, 
\begin{center}
\fbox{$u_n = 12 \left( \dfrac{5}{12} \right)^n$.}
\end{center}
\end{enumerate}
\item On considère la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 4b_n + 3a_n$.
\begin{enumerate}
\item On a pour tout $n \in \N$, 
\begin{align*}
v_{n+1} & = 4 b_{n+1} + 3 a_{n+1} \\
        & = 4 \times \dfrac{a_n + 3b_n}{4} + 3 \times \dfrac{2a_n + b_n}{3} \\
        & = a_n + 3b_n + 2a_n + b_n \\
        & = 4b_n + 3 a_n = v_n
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{La suite $(v_n)_{n  \in \N}$ est donc constante. }
\end{center}
\item La suite étant constante, pour tout $n$ entier,
\begin{center}
\fbox{$v_n = v_0 = 48$.}
\end{center}
\end{enumerate}
\item D'après les questions précédentes, on a donc pour $n$ entier
\begin{align*}
\begin{cases}
b_n - a_n & = 12 \times \left( \dfrac{5}{12} \right)^n \\
4b_n + 3 a_n & = 48
\end{cases}
& \Longleftrightarrow 
\begin{cases}
b_n - a_n & = 12 \times \left( \dfrac{5}{12} \right)^n \\
7b_n  & = 48 + 36 \times \left( \dfrac{5}{12} \right)^n  \quad L_2 + 3L_1 \rightarrow L_2
\end{cases} \\
& \Longleftrightarrow 
\begin{cases}
a_n & = b_n - 12 \times \left( \dfrac{5}{12} \right)^n \\
b_n  & = \dfrac{48}{7} + \dfrac{36}{7} \times \left( \dfrac{5}{12} \right)^n  
\end{cases} \\
& \Longleftrightarrow 
\boxed{\begin{cases}
a_n & = \dfrac{48}{7} - \dfrac{48}{7} \times \left( \dfrac{5}{12} \right)^n \\
b_n  & = \dfrac{48}{7} + \dfrac{36}{7} \times \left( \dfrac{5}{12} \right)^n  
\end{cases}}
\end{align*} 
\item On calcule pour tout $n \in \N$,
\begin{align*}
S_n & = b_0 + b_1 + \ldots + b_n \\
    & = \dfrac{48}{7} + \dfrac{36}{7} \times \left( \dfrac{5}{12} \right)^0 + \dfrac{48}{7} + \dfrac{36}{7} \times \left( \dfrac{5}{12} \right)^1 + \ldots +\dfrac{48}{7} + \dfrac{36}{7} \times \left( \dfrac{5}{12} \right)^n \\
    & = (n+1) \times \dfrac{48}{7} +  \left( \dfrac{36}{7} \times \left( \dfrac{5}{12} \right)^0+ \dfrac{36}{7} \times \left( \dfrac{5}{12} \right)^1 + \ldots + \dfrac{36}{7} \times \left( \dfrac{5}{12} \right)^n \right) \\
    & = \dfrac{48}{7}(n+1) + \dfrac{36}{7} \times \dfrac{1 - \left(\frac{5}{12}\right)^{n+1}}{1 - \frac{5}{12}} \\
    & = \dfrac{48}{7}(n+1) + \dfrac{36}{7} \times \dfrac{12}{7} \left(1 - \left(\frac{5}{12}\right)^{n+1}\right) \\
    & = \boxed{\dfrac{48}{7}(n+1) + \dfrac{432}{49}  \left(1 - \left(\frac{5}{12}\right)^{n+1}\right)}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{exo}

\newpage

\begin{exo}[***]
La suite de Fibonacci est une suite très célèbre. Elle est définie par $u_0 = 1$, $u_1 = 1$ et pour tout $n$ entier $u_{n+2} = u_{n+1} + u_{n}$. \\

On résout l'équation $x^2 = x + 1$. Le discriminant d'une telle équation est $\Delta = (-1)^2 + 4 = 5$. Les solutions sont donc 
$$
x_1 = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} \quad \text{et} \quad x_2 = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}
$$
La suite $(u_n)$ a pour formule explicite 
$$
u_n = \lambda \left( \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n + \mu \left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n 
$$
avec $\lambda$ et $\mu$ deux réels. Afin de déterminer $\lambda$ et $\mu$, on a le système 
\begin{align*}
\begin{cases}
\lambda + \mu & = 1 \\
\lambda \left( \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} \right) + \mu \left( \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \right) & = 1
\end{cases}
& \Longleftrightarrow
\begin{cases}  
\lambda + \mu & = 1 \\
\lambda  \left(1 - \sqrt{5} \right) + \mu \left(1 + \sqrt{5} \right) & = 2
\end{cases} \\
& \Longleftrightarrow
\begin{cases}  
\lambda  & = 1 - \mu \\
\lambda  \left(1 - \sqrt{5} \right) + \mu \left(1 + \sqrt{5} \right) & = 2 
\end{cases} \\
& \Longleftrightarrow
\begin{cases}  
\lambda  & = 1 - \mu \\
(1 - \mu)  \left(1 - \sqrt{5} \right) + \mu \left(1 + \sqrt{5} \right) & = 2 
\end{cases} \\
& \Longleftrightarrow
\begin{cases}  
\lambda  & = 1 - \mu \\
 2\mu  \sqrt{5} & = 2 - 1 + \sqrt{5}
\end{cases} \\
& \Longleftrightarrow
\begin{cases}  
\lambda  & =  \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2\sqrt{5}}  \\
\mu  & = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} 
\end{cases} \\
\end{align*}

Finalement 
\begin{center}
\fbox{$u_n = \left(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2\sqrt{5}} \right) \left( \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n + \left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} \right) \left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n $}
\end{center}
\end{exo}


\end{document}
